Un théorème classique énonce que deux ellipsoïdes confocaux, tout deux remplis d'une matière de densité uniforme, exercent la même force newtonienne sur tout point extérieur s'ils ont la même masse totale. La première démonstration, par Laplace en 1782, est une longue vérification. De nombreuses simplifications successives ont été proposées. La démonstration la plus simple que je connaisse est fondée sur des résultats qui sont souvent attribués à Ivory en 1809, mais qui sont plus précisément dus à Chasles en 1838. Je vais expliquer cette démonstration, qui n'est disponible que dans l'article original, n'ayant apparemment jamais été reproduite (avec l'exception notable du travail d'histoire des mathématiques de Nicolas Michel en 2020).
Les résultats sur les attractions intérieure et extérieure s'étendent en dehors du contexte physique de l'espace Euclidien tridimensionnel. Par exemple, si le coefficient de la force centrale est défini par une autre norme que la norme Euclidienne, la force gravitationnelle à l'intérieur de l'ellipsoïde homogène est encore une fonction linéaire de la position. Les extensions plus classiques à des espaces de dimension différente et à des courbures constantes non nulles sont discutées depuis Killing en 1885. La propriété de divergence nulle du champ de force est toujours respectée. Izmestiev et Tabachnikov ont récemment présenté, à la suite de Kozlov, les résultats sur les homéoïdes (couches homothétiques des ellipsoïdes homogènes) et leurs relations avec la géométrie des quadriques. Je vais améliorer un peu leur résultat et simplifier leur démonstration.
D'après Newton, l'attraction de l'homéoïde sur un point intérieur est nulle, parce que les contributions opposées s'annulent. Je vais démontrer simplement que l'homéoïde est la seule distribution de masse pour laquelle les contributions opposées s'annulent. Ce résultat est équivalent à un résultat de Maxim Arnold et Serge Tabachnikov concernant l'intégrale première de Joachimsthal du billard ellipsoïdal.
